|
Меню сайта
Полезные ссылки
Наш опрос
|
Олимпиады школьников по математикеЗАДАЧИ ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 2011-2012 уч.г
5 класс
Продолжительность -2 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
5.1. Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... . Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2011 – ем месте.
5.2. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
5.3. Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.
5.4. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?
5.5. Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей.» Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?
6 класс
Продолжительность -2 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
6.1. Найдите дробь со знаменателем 19, которая больше 5/7, но меньше 6/7.
6.2. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
• Если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;
• Первая цифра больше последней в 4 раза.
6.3. В правом и левом карманах у меня всего 35 руб. Если из правого кармана в левый переложить столько рублей, сколько было в левом, то в правом будет на 3 рубля больше, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане было первоначально?Сколько различных диагоналей можно провести в многоугольнике, в котором 2010 углов?
6.4. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?
6.5. Разрежьте квадрат на два равных (по форме и размеру) а) пятиугольника; б) шестиугольника
7 класс
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
Продолжительность -3 урока
7.1. Расставьте «+» или «-» в записи так, чтобы получилось верное равенство:
*1 *2*4*8*16*32*64=27
7.2. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха – уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?
7.3. а) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру
б) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, разность которых делится на 10
7.4. Постройте график уравнения (x-2)(y+3)=0.
7.5. В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?
8 класс
Продолжительность 3 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
8.1. Вычислить
8.2. При каких значениях m уравнения mx – 1010 = 1001 и 1001x = m – 1010x имеют общий ко-рень?
8.3. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
8.4. В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором — на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике? Решить логически.
8.5. Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат.
9 класс
Продолжительность -4 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
9.1.Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
9.2.Докажите, что при любых значениях a и b уравнение имеет решение
9.3.Вася взял 11 подряд натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с двумя последними цифрами результата Коли?
9.4. Можно ли произвольный треугольник разрезать на три части, из которых можно составить прямоугольник? Если да, то как?
9.5. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную уравнением = 2 и вычислите ее площадь.
10 класс
11 Продолжительность -4 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
10.1. Вычислите
при а= -2011
10.2. Известно, что . Найти
10.3. Решите уравнение .
10.4. Решить уравнение в простых числах
10.5. В треугольнике АВС площадью 90 биссектриса АD делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причем BD:CD=2:3. Отрезок BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки AL и СL такие что, AL:CL=1:2. Найти площадь четырехугольника EDCL.
11 класс
Продолжительность 4 урока
Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов
11.1. Постройте график функции .
11.2. Решите неравенство: .
11.3. Определите b так, чтобы сумма квадратов корней уравнения х2 + (5 – b )х – b -1 = 0 была наименьшей.
11.4. ABCDA1 B1C1D1 – правильная четырехугольная призма. Длина стороны основания см, боковое ребро равно см. Паук находится в центре грани ABA1 B1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности призмы в вершину С?
11.5. Решите уравнение 1 – 2х – х2 = tg2(x + y) + ctg2(x + y).
11.6. Докажите, что число а) целое; б) делится на 2013.
КЛЮЧИ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ.
5 класс.
1 . Заметим, что число, стоящее на 1-м месте, равно 1*2, на втором месте — 2*3, на третьем 3*4 и т.д. Значит, на 2011 месте будет стоять число 2011*2012=4046132. Ответ: 4046132. 2. (((x+5):3) ∙ 4-6):7 =2 Ответ.10. 3 Решение. 4. Сначала насыпем все 24 кг гвоздей на обе чашки весов так, чтобы они уравновесились. Тогда на каждой чашке окажется по 12 кг гвоздей. Отложим одну из этих куч, а другую таким же образом разделим на две по 6 кг. Опять одну из куч откладываем, а другие 6 кг делим на две части по 3 кг. В итоге у нас имеются 4 кучи гвоздей: 12, 6, 3 и 3 кг. Соединяя вместе кучи в 6 и 3 кг, получаем как раз 9 кг, а две другие кучи дают 15 кг. 5. После того, как лодырь последний раз перешел мост, у него оказалось ровно 40 рублей, которые он и отдал черту. Значит перед третьим переходом у него было 40:2=20 рублей. Аналогичным образом получаем, что перед первым переходом моста у лодыря было (20+40):2=30 рублей, а первоначально было (30+40):2=35 рублей. Ответ: 35 рублей..
6 класс.
1. 14/19, 15/19 2. Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получаем число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года. 3. Начнем с конца. В правом стало на 3 рубля больше, вынем эти 3 рубля, тогда в 2-х карманах станет поровну, а в сумме 35-3=32 рубля. В каждом кармане станет по 32:2=16 рублей. Т.к. в левом кармане стало 16 рублей после того, как в него добавили столько же, сколько было, то в нем деньги увеличились в 2 раза, значит, вначале в левом кармане было 16:2=8 рублей, а в правом 35-8=27 рублей. Ответ: 27 и 8. 4.Так как Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, то Володя не Герасимов. Так как отец Иванова – учитель, отец Володи – инженер, то Володя – не Иванов. Тогда Володя - Семенов, Миша – Иванов, а Петя – Герасимов. 5. Одно из возможных решений изображено на рисунке.
7 класс.
1. +1-2+4+8-16-32+64=27 2. Увеличение на 10% означает умножение на 1.1. Уменьшение на 10% - умножение на 0,9. Разложив 8019 на множители 8019=3∙3∙3∙3∙3∙3∙11=9∙9∙9∙11. Поэтому после трёх промахов и одного попадания у него окажется 80 рублей и 19 копеек. 3. а) цифр 10, а чисел -11, поэтому найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру б) найдутся два числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру, тогда их разность будет делиться на 10. 4. 5. В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой? Решение. Если 10 ребят не посещают кружки, значит, 25 ребят посещают кружки. Поэтому 20+11–25=6 ребят посещают оба кружка.
8 класс
1. Обозначим за x = 201120112011. Вычислим знаменатель рассматриваемой дроби: x² – (x – 1)(x + 1) = x² – (x² – 1) = 1. Значит, величина дроби равна ее числителю, то есть 2011. Ответ: 2011. 2. Корнями данных уравнений являются числа 2001/m и m/2001 соответственно. Тогда 2001/m =m/2001 , m2 = 20112 , m = ±2011. Ответ: при m = ±2011. 3. В треугольниках ABK и MBC биссектрисы одновременно являются и высотами (см. рис.), поэтому эти треугольники — равнобедренные. Так как АВ > ВС, то точка M лежит на стороне АВ, а точка K — продолжении стороны ВС. Значит, BC = BM = 8 (см); AB = BK = BC + CK = 9 (см). Ответ: AB = 9 см. 4. Соединим оба заданных условия и получим следующее утверждение: "В первом и втором ящиках орехов на 6 кг+10 кг меньше, чем в первом, втором и двух третьих". Отсюда следует, что в двух третьих ящиках 16 кг орехов, т.е. в третьем ящике 8 кг орехов. Ответ: 8 кг. 5. Обратим внимание, что каждая из указанных фигур состоит из 16=4•4 клеток, значит, квадрат получится размера 4×4. Дальше надо постараться «увидеть» часть этого квадрата на рисунке и часть фигуры, которую надо отрезать и передвинуть
9 класс.
1. Решив систему уравнений, получим 24. 2. Если , то данное квадратное уравнение с дискриминантом Если , то уравнение имеет корень x=0 3. Среди 11 подряд идущих натуральных чисел есть два, делящихся на 5, и есть два ётных числа, поэтому их произведение оканчивается на два нуля. Заметим. Что a+(a+1)+ (a+2)+,,,+(a+10)= (a+5)∙11. Ели Вася взял 95,96, 97 и т.д., то сумма также будет заканчиваться на два нуля. 4. Необходимо разрезать треугольник по средней линии, а отрезанный треугольник ещё по высоте. Сложение получившихся частей в прямоугольник не составляет труда. 5. Квадрат, площадь которого равна 8
10 класса
1. = = при а= - 2011 1-а=2012. Ответ: 2012 2. Ответ: 23 3. Выделим квадрат разности Пусть Ответ: 4. =1 Пусть х=2n+1 Это четное число Простое четное 2 У=2 х=3 Ответ: х=3, у=2 5. Решение 1) 2) 3) AD-биссектриса 4) Ответ: 44
11 класс
1. ; = = = ; = = = ; = = + =8. Графиком является прямая у = 8. 2. ; ; а) если х , то ; ; 2 б) если х , то ; ; -4 в ответ: 3. х2 + (5 – b )х – b -1 = 0; х12+х22 =(х1 +х2)2 - 2 х1• х2. х1 +х2 = b – 5; х1• х2= – b -1; х12+х22 =( b – 5)2 - 2 (– b -1) = b2 -8b + 27=(b – 4)2 + 11. При b = 4. Ответ: при b = 4. 4. Ответ: ОС = см. 5. 1 – 2х – х2= -(х2 + 2х – 1) = - (х + 1)2 +2 при любых значениях х, равенство достигается при х = -1. Заметим, что tg2(x + y) + ctg2(x + y) при всех допустимых значениях х и у; равенство возможно тогда и только тогда, когда tg2(x + y) =1. Таким образом, уравнение равносильно системе уравнений: При х = -1 tg2(-1 + y) = 1, у – 1 = , у = 1+ . Ответ: (-1; 1+ ). 6. а) При умножении каждого слагаемого суммы на произведение получится целое число. Значит, данное число – целое. б) Сгруппируем слагаемые следующим образом = . Таким образом, выражение делится на 2013
|
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 Поиск
Погода в Парбиге
Архив записей
|